$f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x. \eex$$

证明: $$\beex \bea \int_a^b |f(x)|\rd x&=\int_a^\frac{a+b}{2}\sev{\int_a^x f'(t)\rd t}\rd x +\int_\frac{a+b}{2}^b \sev{\int_x^b f'(t)\rd t}\rd x\\ &\leq \int_a^\frac{a+b}{2}\int_a^x \sev{f'(t)}\rd t\rd x +\int_\frac{a+b}{2}^b \int_x^b \sev{f'(t)}\rd t\rd x\\ &\leq \max_{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}|f'|\cdot \int_a^\frac{a+b}{2} (x-a)\rd x +\max_{\sez{\frac{a+b}{2},b}}|f'|\cdot \int_\frac{a+b}{2}^b (b-x)\rd x\\ &=\frac{(b-a)^2}{8}\sez{\max_{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}|f'|,\max_{\sez{\frac{a+b}{2},b}}|f'|}\\ &\leq \frac{(b-a)^2}{4}\max_{[a,b]}|f'|. \eea \eeex$$ 若等号成立, 则

(1). $f'(x)$ 在 $\dps{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}$ 上不变号, $f'(x)$ 在 $\dps{\sez{\frac{a+b}{2},b}}$ 上也不变号;

(2). $|f'(x)|$ 在 $\dps{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}$ 为常数, $|f'(x)|$ 在 $\dps{\sez{\frac{a+b}{2},b}}$ 上也为常数;

(3). $\dps{\max_{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}|f'|=\max_{\sez{\frac{a+b}{2},b}}|f'|}$.

这些条件及 $f(a)=f(b)=0$ 蕴含 $f\equiv 0$.